12HSG - Sở GD&ĐT Khánh Hòa (26-27)

( $5{,}00$ điểm) - Giải phương trình: $4x^4+8x^3-3x^2-\dfrac{13}{2}x-1=0$. - Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $A,B,C$ là số đo theo đơn vị radian của các góc đỉnh $A,B,C$. Ta kí hiệu $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Chứng minh: \[A A+B B A+ B+B B+C C B+ C+C C+A A C+ A>.\]

( $3{,}00$ điểm) Tìm tất cả các giá trị của số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x,y)$ thỏa mãn: \[&x^2+y^2-4x+2y+4=0 &_x^2+y^2+2(4x+4y-6+m^2)1.\]

( $2{,}00$ điểm) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x\ge\max\{y,z\}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P(x,y,z)=xy+21+yz+31+zx.\]

( $5{,}00$ điểm) Cho tam giác $ABC$ và $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CA$. Tia phân giác của góc $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $N$, tia phân giác của góc $\widehat{BDC}$ cắt $BC$ tại $M$. Gọi $O$ là giao điểm của $MN$ và $CD$, hai đường thẳng $OE$ và $AC$ cắt nhau tại $P$, hai đường thẳng $OF$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh: $\dfrac{1}{EF}+\dfrac{1}{DC}=\dfrac{2}{MN}$ và $CD=PQ$.

( $5{,}00$ điểm) Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ không là dãy hằng và thỏa mãn $(u_m-u_n)$ chia hết cho $(m-n)$, với mọi số nguyên dương $m,n$ phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số $(u_n)$ là vô hạn.

( $4{,}00$ điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=-2$ và $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1-u_n}$, $\forall n\in\mathbb{N}^*$. - Chứng minh $u_n<0$, $\forall n\in\mathbb{N}^*$. - Đặt $v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n}$, $\forall n\in\mathbb{N}^*$. Chứng minh $(v_n)$ là cấp số cộng và tính $\lim u_n$.

( $5{,}00$ điểm) Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(xy+f(x^2)-x^2\right)=xf(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$.

( $6{,}00$ điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có trực tâm $H$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Điểm $R$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ sao cho $AR$ không song song với $BC$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm $S,T$ phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ARS$ và $ART$ cùng tiếp xúc với $BC$. Các đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AS$ và $AT$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ tại điểm thứ hai theo thứ tự là $M$ và $N$. Chứng minh: - Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định. - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $RST$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.