12HSG - Sở GD&ĐT Vĩnh Long (25-26)

( $2$ điểm) Cho hàm số $y=f(x)=x^{3}-x^{2}+2mx-4$. Tìm tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$.

( $2$ điểm) Cho hàm số $y=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(-1;3)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$. Tính diện tích của tam giác $MAB$.

( $2$ điểm) - Giải phương trình $\cos^{2}3x\cos2x-\cos^{2}x=0$. - Xét dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1}=3$, $u_{n+1}=3-\dfrac{4}{u_{n}+2}$, $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số.

( $2$ điểm) Trước kì bầu cử bí thư lớp 10A, cô giáo chủ nhiệm có cuộc thăm dò tín nhiệm của $43$ bạn học sinh đối với ba ứng cử viên $A$, $B$, $C$ có kết quả như sau: số phiếu tín nhiệm ứng cử viên $A$ là $15$, $B$ là $23$, $C$ là $16$, $A$ và $B$ là $9$, $B$ và $C$ là $12$, $C$ và $A$ là $7$, số học sinh không có ý kiến là $10$. Hỏi số phiếu tín nhiệm cả ba bạn $A$, $B$, $C$ là bao nhiêu?

( $2$ điểm) Cho hai số thực $a$, $b$ đều lớn hơn $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{1}{\log_{ab}a}+\dfrac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b}$.

( $2$ điểm) Giải phương trình $\dfrac{x^{3}+3x^{2}-4x+1}{x^{2}+3}=\sqrt{x^{2}-x+1}$.

( $2$ điểm) Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $150$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=231-0{,}02x^{2}$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=150+15x$ (triệu đồng). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

( $2$ điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.