ĐỀ NĂM HỌC 2025 - 2026 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 5 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
- Trong mặt phẳng $Oxy$, đồ thị của hàm số $y=x^{3}-3mx^{2}+4m^{3}$ ($m$ là tham số) có $2$ điểm cực trị $A,B$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân.
- Từ xã $A$ đến xã $B$ chỉ có $2$ con đường $AFB$ hoặc $AEB$ (với $AFBE$ là hình chữ nhật như hình vẽ) và các đoạn đường $AF$, $AE$ có độ dài lần lượt là $5$\,km và $3$\,km. Người ta muốn xây một con đường mới từ xã $A$ đến xã $B$ bằng cách như sau: chọn một vị trí $K$ trên đoạn đường $BE$, xây con đường mới đi thẳng từ vị trí điểm $K$ đến xã $A$ rồi sau đó nâng cấp đoạn đường từ xã $B$ đến $K$ để đưa vào sử dụng…
Câu 2
- Giải phương trình $(3x-1)\sqrt{3x-2}=7x^{2}-13x+8$.
- Giải hệ phương trình $\heva{&xy^{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}+1\right)=3\sqrt{9+y^{2}}+3y
&\left(x^{2}y-1\right)\sqrt{x^{2}y+xy-5}+3x^{2}y=7x^{2}-4x+8.}$
Câu 3
- Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}\ldots A_{36}$ nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$. Chọn ba điểm bất kỳ từ $36$ đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên.
- Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ cân tại đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$. Khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SED)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính thể tích khối chóp $G.AHED$.
Câu 4
- Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BE$, $CF$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$. Biết $\widehat{BKC}=90^{\circ}$, $BC=8$,cm. Tính độ dài đoạn thẳng $AK$.
- Từ tập $X=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le100\}$, có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên bộ ba số $(a;b;c)$ sao cho đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^{2}-2bx+c$ đi qua điểm $A(1;0)$ và có đỉnh không trùng với điểm $A$?
Câu 5
- Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1}=11$ và $u_{n+1}+15n+1=4u_{n}$, $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$. Xác định công thức tổng quát của $(u_{n})$ và tìm tất cả giá trị $n$ để $u_{n}$ là một số chính phương.
- Trường của Hoàng có tất cả là $n$ lớp. Lớp đông nhất trường có $M$ học sinh. Hôm nay, lớp Hoàng có giờ học ngoại khóa với chủ đề ``Thống kê và Tính toán''. Nhóm trưởng nhóm của Hoàng phân công các bạn làm việc như sau:
-- Hoàng lập dãy số $a_{1};a_{2};\ldots;a_{n}$ là số học sinh từng lớp trong trường.
-- Hùng lập dãy số $b_{1};b_{2};\ldots;b_{M}$ với $b_{i}$ là số lượng các lớp trong trường mà số học sinh trong mỗi lớp đó không ít hơn $i$ học sinh.…