12HSG - Sở GD&ĐT Quảng Trị (25-26)

( $5{,}0$ điểm) - Giải phương trình $\sin x-\cos x+\sin2x-\cos2x=1$. - Một cơ sở sản xuất thảm lụa có quỹ thời gian sản xuất là $120$ giờ/tuần. Cơ sở chuyên sản xuất hai loại thảm: tấm cỡ lớn và tấm cỡ nhỏ. Mỗi tấm thảm cỡ lớn mất $3$ giờ để dệt và mỗi tấm thảm cỡ nhỏ mất $1{,}5$ giờ để dệt. Kho chứa hàng của cơ sở chỉ chứa được tối đa $30$ tấm thảm cỡ lớn và mỗi tấm thảm cỡ lớn chiếm chỗ bằng $3$ tấm thảm cỡ nhỏ. Cuối mỗi tuần, khách hàng sẽ thu mua toàn bộ số thảm cơ sở đã dệt. Hỏi trong một tuần, cơ sở đó nên sản xuất bao nhiêu tấm thảm mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất, biết rằng mỗi tấm thảm cỡ lớn lãi $180$ nghìn đồng và mỗi tấm thảm cỡ nhỏ lãi $80$ nghìn đồng?…

( $5{,}0$ điểm) - Cho hàm số $y=x^{4}-8mx^{2}+16m^{2}+m-1$ (với $m$ là tham số thực) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị $(C_m)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trực tâm. - Bể bơi của một trung tâm thể dục thể thao có chiều dài $26$\,m và chiều rộng $8$\,m. Dọc theo chiều dài, bể được chia thành ba khu vực: khu vực I (dành cho người lớn) có chiều dài $10$\,m, độ sâu $2$\,m; khu vực II (dành cho trẻ em) có chiều dài $8$\,m, độ sâu $1{,}2$\,m; khu vực trung gian nằm giữa hai khu vực trên (Hình 1). Ban đầu bể không có nước, sau đó nước được bơm vào bể với lưu lượng $2$\,m$^3$/phút…

( $7{,}0$ điểm) - Tại một vị trí $A$ trên bờ biển, Nam quan sát một hòn đảo nhỏ để xác định bề rộng của nó theo chiều quan sát được (là khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của đảo mà Nam quan sát được, gọi hai điểm đó là $B$, $C$ (Hình 2)). Để tính độ dài đoạn $BC$, Nam chọn một vị trí $M$ trên đất liền sao cho $A$ nằm trong góc $\widehat{BMC}$, rồi tiến hành đo đạc và thu được các thông số sau: $AM=0{,}2$\,km, $\widehat{BAC}=113^{\circ}$, $\widehat{MAC}=103^{\circ}$, $\widehat{AMB}=31^{\circ}$ và $\widehat{AMC}=69^{\circ}$ (Hình 3). Em hãy giúp Nam tính bề rộng của hòn đảo (theo đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). [hình] [hình]…

( $3{,}0$ điểm) Trong các biển số xe của tỉnh Quảng Trị, ta gọi biển số loại A là những biển số xe có dạng $7x\mathrm{A}\text{-}abc.de$, trong đó $a,b,c,d,e$ là các chữ số không đồng thời bằng $0$ và $x$ là chữ số $3$ hoặc chữ số $4$. - Có bao nhiêu biển số loại A vừa có chữ số $3$ vừa có chữ số $4$? - Hai bạn Khoa và Lâm, mỗi bạn viết ngẫu nhiên một biển số loại A lên bảng. Tính xác suất để trong hai biển số được viết có một biển có đúng một chữ số $3$, biển còn lại vừa có chữ số $3$ vừa có chữ số $4$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).