ĐỀ NĂM HỌC 2025 - 2026 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 32 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$. $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ và $SC$ tạo với đáy một góc $45^{\circ}$. Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$. Khi đó $\cos\alpha$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{57}}{19}$
C. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 2
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD}$; $3\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MP}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MQ}$
B. $\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MP}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MQ}$
C. $\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MP}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MQ}$
D. $\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MP}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MQ}$
Câu 3
Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ tạo với nhau một góc $120^{\circ}$ và $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=5$. Giá trị của $|\vec{u}+2\vec{v}|$ bằng
A. $84$
B. $2\sqrt{31}$
C. $124$
D. $2\sqrt{21}$
Câu 4
Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị $y=f'(x)$ là đường cong trong hình vẽ. Đặt $g(x)=f\left(f'(x)-1\right)$. Số nghiệm dương phân biệt của phương trình $g'(x)=0$ là
[2]
$6$
$9$
$5$
$10$
[hình]
Câu 5
Cho hàm số $y=\dfrac{\sqrt{2x+5}+ax+b}{(x+2)^2}$ ($a,b$ là các tham số). Biết đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi đó $a-b$ bằng
A. $4$
B. $-4$
C. $2$
D. $-2$
Câu 6
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3x^2-mx+2025$ đồng biến trên khoảng $(4;+\infty)$. Số phần tử của $S$ bằng
A. $25$
B. $4$
C. $23$
D. $24$
Câu 7
Gia tốc $a(t)$ ($t$ tính theo giây) của một vật chuyển động là một hàm số liên tục có đồ thị từ giây thứ hai đến giây thứ tư như hình vẽ. Tại thời điểm nào vật có vận tốc nhỏ nhất?
[2]
$t=2{,}5$
$t=4$
$t=2$
$t=3$
[hình]
Câu 8
Một đại lý kinh doanh xe gắn máy với giá mua vào mỗi chiếc xe là $39$ triệu đồng, nếu giá bán ra mỗi chiếc xe là $45$ triệu đồng thì số lượng xe bán ra mỗi năm là $600$ chiếc. Nếu mỗi chiếc xe khi bán giảm $1$ triệu đồng thì số lượng xe bán ra trong năm tăng $150$ chiếc. Đại lý muốn thu được lợi nhuận cao nhất trong một năm thì phải bán mỗi chiếc xe có giá bao nhiêu ( đơn vị triệu đồng)?
A. $43$
B. $45$
C. $46$
D. $44$