12HSG - Sở GD&ĐT TPHCM (25-26)

( $4{,}0$ điểm) - Một bệnh nhân được tiêm thuốc đặc trị định kỳ mỗi $24$ giờ một liều $200$ mg. Sau mỗi $24$ giờ, lượng thuốc còn lại bằng $60\%$ lượng thuốc có trong cơ thể sau lần tiêm trước đó. - Tính lượng thuốc trong cơ thể của bệnh nhân này ngay sau khi tiêm liều thứ $5$. - Biết ngưỡng ngộ độc thuốc là $500$ mg. Hỏi nếu điều trị hàng ngày theo phương án này thì bệnh nhân có thời điểm nào bị ngộ độc hay không? - Một công ty có $3$ chi nhánh và tại mỗi chi nhánh có $10$ bậc lương cho nhân viên…

( $4{,}0$ điểm) Cho hàm số $f(x)= x(x+3)^{2}+1 & \text{khi } -4\leq x\leq 0 \dfrac{x+7}{x+3} & \text{khi } x<-4 2^{x}-x & \text{khi } x>0. $ - Hỏi hàm số này có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? - Giả sử có $6$ số thực $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$ sao cho $f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=f(a_4)=f(a_5)=f(a_6)$. Chứng minh rằng $a_6-a_5<1$.

( $4{,}0$ điểm) Một công ty thiết kế logo dựa trên một hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các trục tọa độ, đường thẳng $x=k$ và đường cong $(C)$ như hình vẽ. Đường cong $(C)$ gồm hai đường cong: $(C_1)$ là một phần đồ thị của hàm số $f(x)=ax^4$, $0\leq x\leq2$ và $(C_2)$ là một phần đồ thị của hàm số $g(x)=b(x-k)^4+c$, $2\leq x\leq k$. Biết rằng $(C_1)$ và $(C_2)$ có chung một tiếp tuyến tại điểm $A(2;2)$ và diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng $8$ (đvdt). Tính giá trị của tham số $k$. [hình]

( $4{,}0$ điểm) - Tại buổi triển lãm, một viên đá quý được trưng bày trên giá đỡ có dạng hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ cân tại $B$ nằm trên mặt bàn và $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên đá quý có hình dạng một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ như hình vẽ. Biết $AB=5$\,cm, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. - Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông cân. - Tính thể tích của viên đá quý. [hình] - Một tàu vũ trụ đang ở cách mặt phẳng ranh giới giữa hai nửa không gian một khoảng bằng $a$…

( $4{,}0$ điểm) Cho $X$ là tập hợp gồm $45$ số nguyên từ $-22$ đến $22$. Chọn ngẫu nhiên $a,b,c\in X$ để tạo thành hàm số $f(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)}{x-c}$ có đồ thị $(C)$. - Tính xác suất để đồ thị $(C)$ có $2$ đường tiệm cận. - Tính xác suất để đồ thị $(C)$ có $2$ đường tiệm cận cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành.