12HSG - Sở GD&ĐT Quảng Trị (24-25)

( $2{,}0$ điểm) An và Bình cùng sống trong một căn nhà trên con đường dọc bờ biển. An làm việc ở một hòn đảo du lịch cách đường bờ biển $3$ km. Hằng ngày, sau giờ làm An di chuyển bằng cáp treo từ đảo về ga cáp treo nằm trên đường bờ biển tại vị trí gần hòn đảo nhất, sau đó đón xe buýt về nhà cách ga cáp treo $14$ km. Một ngày, do sự cố cáp treo nên An phải di chuyển bằng thuyền về bờ biển và nhờ Bình từ nhà đến đón tại bến thuyền…

( $2{,}5$ điểm) Mỗi tuần, một tổ sản xuất được nhà máy cung cấp tối đa $22$ kg nguyên liệu $X$ và $30$ kg nguyên liệu $Y$ để sản xuất $10$ sản phẩm gồm các loại $A$, $B$ và $C$. Biết rằng, để sản xuất một sản phẩm loại $A$ cần $3$ kg nguyên liệu $X$ và $1$ kg nguyên liệu $Y$; sản xuất một sản phẩm loại $B$ cần $1$ kg nguyên liệu $X$ và $3$ kg nguyên liệu $Y$; sản xuất một sản phẩm loại $C$ cần $2$ kg nguyên liệu $X$ và $4$ kg nguyên liệu $Y$. Tiền công sản xuất mỗi sản phẩm loại $A$, $B$, $C$ lần lượt là $1{,}2$ triệu đồng, $1{,}3$ triệu đồng và $1{,}5$ triệu đồng. Hỏi trong một tuần, tổ công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số tiền công nhận được là lớn nhất?

( $3{,}0$ điểm) Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Giả sử vị trí $s(t)$ (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức $s(t)=-t^3+9t^2-15t+2$, $t\geq0$. - Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động lên trên? - Trong $6$ giây đầu tiên chất điểm di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

( $3{,}5$ điểm) - Tổ I có $15$ học sinh, trong đó có $7$ học sinh nam và $8$ học sinh nữ. Tổ II có $14$ học sinh, trong đó có $5$ học sinh nam và $9$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ $3$ học sinh. Tính xác suất để mỗi tổ đều có ít nhất một học sinh nam được chọn. - Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác lồi $A_1A_2\ldots A_{10}$ ($10$ đỉnh) bằng hai màu xanh và đỏ (mỗi đỉnh tô một màu). Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào của đa giác có cùng màu đỏ?

( $2{,}0$ điểm) Cho hình lục giác đều $L_1$ có cạnh bằng $2024$. Nối trung điểm các cạnh kề nhau của $L_1$ để được hình lục giác đều $L_2$. Từ hình lục giác đều $L_2$ tiếp tục làm như trên ta được hình lục giác đều $L_3$. Lặp lại cách làm này ta thu được dãy vô hạn các hình lục giác đều $L_1,L_2,L_3,\ldots,L_n,\ldots$ Gọi $S_i$ là diện tích hình lục giác đều $L_i$ ($i=1,2,3,\ldots$). Tính tổng $T=S_1+S_2+S_3+\cdots+S_n+\cdots$

( $2{,}0$ điểm) Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=a$, $AB=c$ thỏa mãn $\sqrt{2a-c}\cdot\cos\dfrac{B}{2}=\sqrt{2a+c}\cdot\sin\dfrac{B}{2}$, với $2a>c$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

( $4{,}0$ điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$. Biết $AB=a$, $AD=a\sqrt2$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{a\sqrt6}{3}$. - Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$. - Tính côsin của góc phẳng nhị diện $[B,SC,D]$.

( $1{,}0$ điểm) Với $(x;y)$ là các cặp số thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{\ln(2x+y)}{\ln\left(x^2+2y^2\right)}\geq1$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2x+y$.