ĐỀ NĂM HỌC 2024 - 2025 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 36 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Đạo hàm của hàm số $y=\log\left(\mathrm{e}^{x}+x\right)$ là
A. $y'=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+x}$
B. $y'=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\left(\mathrm{e}^{x}+x\right)\ln10}$
C. $y'=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+x\right)\ln10}$
D. $y'=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+x}$
Câu 2
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-1)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{4}-1\right)$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Số điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là
A. $3$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
Câu 3
Hàm số $F(x)=\left(ax^{2}+bx+c\right)\sqrt{2x-3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{20x^{2}-30x+7}{\sqrt{2x-3}}$ trên khoảng $\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right)$. Giá trị của biểu thức $P=a+2b+3c$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$
B. $\left(2;\dfrac{5}{2}\right)$
C. $\left(0;\dfrac{3}{2}\right)$
D. $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}\right)$
Câu 4
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(3+x)\left(x^{2}-1\right)+2x$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Hàm số $g(x)=f(x)-x^{2}-1$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $(-\infty;1)$
B. $(-1;0)$
C. $(1;2)$
D. $(3;+\infty)$
Câu 5
Cho hàm số $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{x+d}$ có đồ thị gồm hai đường cong như hình vẽ. Khi đó $a+b+c+2d$ nhận giá trị bằng
A. $-4$
B. $-3$
C. $-2$
D. $-5$
[hình]
Câu 6
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x)\cdot x^{2}+2xf(x)=1$ và $f(1)=2$. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\,\mathrm{d}x$ bằng
A. $2-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
B. $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
C. $1$
D. $3$
Câu 7
Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $B'C'$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AC$, $MN$. Giá trị của $\tan\alpha$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $2$
Câu 8
Hiệu suất của tim là lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm $A\ (\mathrm{mg})$ chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm $T\ (\mathrm{s})$ khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi $c(t)$ là nồng độ $(\mathrm{mg/l})$ chất chỉ thị màu tại thời điểm $t\ (\mathrm{s})$ thì hiệu suất của tim được xác định bởi công thức $F=\dfrac{A}{\displaystyle\int\limits_{0}^{T}c(t)\,\mathrm{d}t}\ (\mathrm{l/s})$ ( Nguồn: James Stewart, Calculus, Cengage Learning)…