12HSG - Sở GD&ĐT Đắk Lắk (24-25)

( Bài $1$a, $2{,}0$ điểm) Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^{2}+(n+1)x+m+n}{x+1}$. Tìm tất cả các giá trị thực của các tham số $m,n$ để đồ thị hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại điểm $(-2;-2)$.

( Bài $1$b, $2{,}0$ điểm) Một nhà đầu tư bất động sản có $40$ căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá $2.000.000$ đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thêm $100.000$ đồng thì sẽ có một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì nhà đầu tư đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

( Bài $2$a, $2{,}0$ điểm) Giải phương trình $4^{\ln x+1}-6^{\ln x}-2\cdot3^{\ln x^{2}+2}=0$.

( Bài $2$b, $2{,}0$ điểm) Giải hệ phương trình $\heva{&\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac yx=\dfrac{2\sqrt x}{y}+2 &y\left(\sqrt{x^{2}+4}-2\right)=\sqrt{3x^{2}+5}.}$

( Bài $3$a, $2{,}0$ điểm) Sau khi mua ô tô, ông A đến phòng cảnh sát giao thông bấm chọn ngẫu nhiên một biển số xe. Biết rằng thời điểm đi bấm số xe, biển số xe có dạng $47$A $245.xy$, với $x$, $y$ là các chữ số thuộc $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$. Tính xác suất để ông A bấm được biển số xe $47$A $245.xy$ thỏa $x<y$.

( Bài $3$b, $2{,}0$ điểm) Cho một bảng ô vuông $3\times3$, mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Có bao nhiêu cách tô màu mà trong bảng vuông đó có chứa bảng vuông $2\times2$ mà cả bốn ô vuông đơn vị đều được tô bởi màu đỏ. (Bảng ô vuông được cố định, không xoay, như hình vẽ). [hình]

( Bài $4$a, $2{,}0$ điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $5$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC=5\sqrt5$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Tính côsin góc tạo bởi đường thẳng $AC$ với mặt phẳng $(SCD)$ và khoảng cách giữa $BD$ và $MN$.

( Bài $4$b, $2{,}0$ điểm) Ở phường Tân An, có hai trạm phát sóng wifi $A$, $B$ đặt trên hai trụ cao $20$ m và hai trụ này cách nhau $500$ m. Trạm $A$ có tầm phát sóng $400$ m, trạm $B$ có tầm phát sóng $300$ m. Trên mặt đất có nút giao hai con đường ở vị trí $C$ cách chân hai trạm phát sóng $A$ và $B$ lần lượt là $600$ m và $400$ m. Biết có một Flycam đang bay trên không trung trong vùng phủ sóng wifi của trạm $A$ hoặc trạm $B$ và một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm $A$ đến $C$, rồi chuyển hướng vào đường thẳng từ $C$ đến chân trạm $B$…