ĐỀ NĂM HỌC 2024 - 2025 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 20 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Cho hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị như hình vẽ. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?
[hình]
Câu 2
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $3$\,cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, đường thẳng $SD$ tạo với mặt đáy một góc $45^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBM)$ bằng bao nhiêu centimét?
Câu 3
Bất phương trình $\log_4x^2+\log_2(x+3)\leq1+\log_2(2x+3)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Câu 4
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt3-\cos2x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{4};0\right]$ bằng bao nhiêu?
Câu 5
Cho hàm số $y=mx^2+\left(4-m^2\right)x+n\ln x$ (với $m,n$ là các tham số thực). Biết rằng hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x=\dfrac{1}{2}$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=1$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng bao nhiêu?
Câu 6
Cho $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(f(x)-1)-3$ có bao nhiêu điểm cực đại?
[hình]
Câu 7
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2\sqrt3$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $S$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và $\widehat{ASB}=30^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SD$ và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AM$, $CD$. Khi đó $\sin\alpha$ bằng bao nhiêu?
Câu 8
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;3)$, $B(2;1;-4)$. Xét điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $2MA^2-3MB^2$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu?