12HSG - Sở GD&ĐT Quảng Nam (24-25)

( $2{,}0$ điểm) Giải hệ phương trình \[&x^2-y-1=-x^4-2x^3+2y^2+12y+44 &x-1-y+2+x^2-y^2-2x-4y-3=0(x,yR).\]

( $3{,}0$ điểm) Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $u_1=2$, $u_n=\dfrac{n}{3^{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{3^{k}}{k}$, $\forall n\geq2$. Chứng minh $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}(1+u_n)$, $\forall n\geq2$ và tìm $\lim u_n$.

( $2{,}0$ điểm) Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ thỏa mãn \[f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))với mọi a,bZ.\]

( $3{,}0$ điểm) - Cho $a$ là số tự nhiên thỏa mãn $a+1$ và $2a+1$ đều là các số chính phương. Chứng minh $a$ chia hết cho $24$. ( $1{,}0$ điểm) - Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(m,n)$ thỏa mãn $m^{n}=n^{3m}$. ( $2{,}0$ điểm)

( $5{,}0$ điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. - Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $I$ là trung điểm của $AH$, $L$ là trung điểm của $AB$, $IF$ cắt $CK$ tại $T$. Đường thẳng qua $T$ và vuông góc với $OH$ cắt $BK$ tại $S$. Chứng minh $AL\cdot BH=AO\cdot BD$ và ba điểm $S$, $I$, $E$ thẳng hàng. ( $2{,}0$ điểm) - Lấy hai điểm $M$, $N$ trên cạnh $BC$ sao cho $BM=CN$ ($M$ nằm giữa $B$ và $N$). Đường thẳng $BE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFM$ tại điểm thứ hai là $P$, đường thẳng $CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEN$ tại điểm thứ hai là $Q$…

( $2{,}0$ điểm) Cho đa giác lồi $T$ có diện tích bằng $5400$ (đvdt) và một đường thẳng $l$ tùy ý. Chứng minh tồn tại một tam giác có các đỉnh nằm trên các cạnh của $T$ và có một cạnh song song với $l$ mà diện tích của nó không nhỏ hơn $2025$ (đvdt).

( $3{,}0$ điểm) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$ và biểu thức $P=\sqrt{\dfrac{x}{x+yz}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+zx}}+\sqrt{\dfrac{z}{z+xy}}$. Tìm giá trị lớn nhất của $P$ và tìm số thực $m$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức $P\geq m$ đúng với mọi $x,y,z$ dương thỏa mãn điều kiện trên.