12HSG - Sở GD&ĐT Long An (24-25)

( $5{,}0$ điểm) - Giải phương trình sau trên tập số thực: $x^2-2x-3=\sqrt{x+3}$. - Giải hệ phương trình $\heva{&3xy+y+1=21x &9x^2y^2+3xy+1=117x^2}\ (x,y\in\mathbb{R})$.

( $5{,}0$ điểm) - Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$ với $CD=3AB$, hai đường chéo $AC$, $BD$ vuông góc nhau tại $I$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $DA=3DM$ và điểm $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$. Đường thẳng $IM$ đi qua điểm $P(10;7)$ và đường thẳng $CN$ có phương trình là $7x+5y-37=0$. Chứng minh rằng $IM$ vuông góc với $CN$ và tìm tọa độ điểm $C$, điểm $D$ biết $A(2;3)$. - Cho tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác trong góc $A$ và $BM$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ (với $D$ thuộc cạnh $BC$ và $M$ thuộc cạnh $AC$). Biết rằng hai đường thẳng $AD$ và $BM$ vuông góc với nhau và $BM=\dfrac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot AD$…

( $4{,}0$ điểm) - Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=0$ và $a_{n+1}=-a_n+2n+1$, với mọi $n\geq1$. Chứng minh rằng $a_n=(-1)^n+n$ với mọi $n\geq1$ và tính tổng $2025$ số hạng đầu tiên của dãy số $(a_n)$. - Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=4$ và $u_{n+1}=u_n^2-5u_n+9$, với mọi $n\geq1$. Chứng minh rằng \[1u_1-2+1u_2-2++1u_2025-2<1.\]

( $3{,}0$ điểm) Một bồn hoa hình tròn ở giữa sân trường được chia thành $6$ phần bằng nhau và giao nhiệm vụ cho $6$ lớp $10$ chọn trồng một trong $4$ loại hoa là hoa cúc, hoa hồng, hoa lan, hoa hướng dương theo các khu vực hình quạt được phân công cụ thể như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu phương án trồng hoa của các lớp sao cho hai lớp được phân công hai khu vực cạnh nhau thì không cùng trồng một loại hoa? [hình]

( $3{,}0$ điểm) Một sợi dây kim loại dài $120$\,cm được cắt thành hai đoạn: đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?