12HSG - Sở GD&ĐT Khánh Hòa (25-26)

- Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-x^3+3mx^2-3(m+6)x-1$ có hai điểm cực trị và điểm $A(1;-4)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đó. - Một người dùng $35$ triệu đồng mua vật liệu để rào một mảnh đất hình chữ nhật, trên mảnh đất đó họ chia thành ba khu vực để canh tác ba loại nông sản khác nhau (mỗi khu vực cũng là một hình chữ nhật, minh họa như Hình 1). Chi phí vật liệu cho mặt rào $AB$ là $30$ nghìn đồng mỗi mét; đối với các mặt rào $AD$, $BC$ và $CD$ thì chi phí là $20$ nghìn đồng mỗi mét; hai mặt rào còn lại $EF$ và $GH$ thì chi phí là $15$ nghìn đồng mỗi mét…

- Cho các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $5^{x^2-y+1}=\dfrac{2x+y}{(x+1)^2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x-2y$. - Cho dãy số $(u_n)$: $\heva{&u_1=-1,\ u_2=1 &u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n+1,\ \forall n\geq1}$ và dãy số $(v_n)$ với $v_n=u_{n+1}-u_n$. Chứng minh dãy số $(v_n)$ là cấp số cộng. Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng $(v_n)$ và từ đó suy ra công thức tính $u_n$ theo $n$.

- Giải bất phương trình $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\leq0$. - Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm $X$ và $Y$ để phục vụ nhân dân nhân dịp xuân Bính Ngọ $2026$. Mỗi hộp thực phẩm loại $X$ chứa $2$ đơn vị chất dinh dưỡng $A$, $2$ đơn vị chất dinh dưỡng $B$ và $3$ đơn vị chất dinh dưỡng $C$. Mỗi hộp thực phẩm loại $Y$ chứa $1$ đơn vị chất dinh dưỡng $A$, $9$ đơn vị chất dinh dưỡng $B$ và $2$ đơn vị chất dinh dưỡng $C$. Giá một hộp loại $X$ là $200$ nghìn đồng và một hộp loại $Y$ là $250$ nghìn đồng…

- Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta có $C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+nC_n^n=n\cdot2^{n-1}$. - Trong một bài kiểm tra thường xuyên với thang điểm $10$, đề kiểm tra gồm có $25$ câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi có $4$ phương án trả lời, trong đó chỉ có $1$ phương án đúng. Để hạn chế việc học sinh không biết mà vẫn chọn đáp án, ``mỗi câu chọn đúng được $0{,}4$ điểm; chọn sai bị trừ $0{,}1$ điểm''. Giả sử có một học sinh làm chắc chắn đúng được $18$ câu, các câu còn lại học sinh này chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để điểm toàn bài của học sinh này trên $8{,}5$ điểm là bao nhiêu?

- Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA'=2AB$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}$. Gọi $F$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB'$ sao cho $A'F$ vuông góc với $A'E$. Tính tỷ số $\dfrac{FA}{FB'}$. - Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Cho biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $a$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\alpha$, với $\cos\alpha=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.