12HSG - Sở GD&ĐT Hải Dương (24-25)

( $2{,}0$ điểm) - Cho hàm số $y=\dfrac{x^{2}-2x-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(1;-3)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$. Tính diện tích của tam giác $MAB$. - Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0{,}01x^{2}$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+15x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $15$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm)…

( $2{,}0$ điểm) - Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\dfrac{24000}{1+6\mathrm{e}^{-t}}$ với $t\geq0$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t=\ln a$. Tìm $a$. - Có bao nhiêu số nguyên $y$ để với mỗi $y$ có đúng $2$ số thực $x$ thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{2\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{16\mathrm{e}^{x}-y}}+\ln\left(16\mathrm{e}^{x}-y\right)\leq2x+2$.

( $2{,}0$ điểm) - Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại SEA Games $31$) với một vận động viên nước ngoài, trận đấu gồm tối đa $5$ set (séc), người nào thắng trước $3$ set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là $0{,}6$. Tính xác suất để vận động viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu. - Giải hệ phương trình $\heva{&\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{2\sqrt{x}}{y}+2 &y\left(\sqrt{x^{2}+1}-1\right)=\sqrt{3x^{2}+3}.}$

( $3{,}0$ điểm) - Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng $1$ và $SA\perp(ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $SB$, $SC$ sao cho $SM=3MB$, $NC=2NS$. Tính độ dài đoạn $SA$ và côsin của góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AC$, biết rằng $AN$ vuông góc $CM$. - Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AC=a$. Biết rằng đường thẳng $BC'$ hợp với mặt phẳng $(ACC'A')$ một góc $30^{\circ}$ và đường thẳng $BC'$ hợp với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ sao cho $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BB'$ và $A'C'$. - Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.…

( $1{,}0$ điểm) Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P=(a^2-b^2)(b-c)+c^2(1-c).\]