12HSG - Sở GD&ĐT Hà Nam (24-25)

( $2{,}0$ điểm) Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+3x-9}{x-2}$. Tìm tọa độ của điểm $M$ nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất.

( $2{,}0$ điểm) Trên một khúc sông có dòng nước lặng, một chiếc tàu chạy với tốc độ không đổi, chi phí nhiên liệu được tính bởi hai phần: phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và mất chi phí là $700$ nghìn đồng/giờ; phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương của tốc độ, khi tàu chạy với tốc độ $10$\,km/h thì chi phí phần thứ hai là $70$ nghìn đồng/giờ. Tìm tốc độ của tàu để tổng chi phí nhiên liệu khi tàu chạy $1$ km trên sông là nhỏ nhất. ( Bỏ qua vận tốc của dòng nước)

( $2{,}0$ điểm) Xét điểm $A$ và đường thẳng $d$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Xét hai điểm $B$ và $C$ di chuyển trên tia $Hx$ sao cho $HC=3HB$ (như hình vẽ bên). Biết rằng $AH=5$. Khi độ lớn của góc $\widehat{BAC}$ lớn nhất hãy tính độ dài đoạn $BC$. [hình]

( $2{,}0$ điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: $e^{3x}+e^{x}=2\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1+x\sqrt{1-x^2}\right)$.

( $1{,}5$ điểm) Bảng sau thống kê mức lương của hai công ty $A$, $B$ (đơn vị: triệu đồng) trong cùng một tháng. [hình] Người ta có thể sử dụng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ đồng đều về mức lương của các công ty. Mức lương của công ty nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì sẽ đồng đều hơn. Theo quan điểm trên, hãy so sánh mức độ đồng đều về mức lương của công ty $A$ và công ty $B$.

( $1{,}5$ điểm) Cho hàm số $f(x)\neq0$, $\forall x\in[0;+\infty)$ có đạo hàm liên tục trên $(0;+\infty)$ thỏa mãn $f(1)=-\dfrac{1}{12}$ và $f'(x)=(2x+5)\cdot\left(f(x)\right)^2$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Tính tổng $S=f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2025)$.

( $1{,}5$ điểm) Một chất điểm $A$ chuyển động trên trục $Ox$, với vận tốc $v(t)=-2t+3$ (m/s), trong đó thời điểm $t=0$ (giây) tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và khi đó chất điểm ở tại gốc tọa độ. Tại thời điểm $t=0$, tại gốc tọa độ một chất điểm $B$ khác $A$ chuyển động trên trục $Ox$ với vận tốc $v_1(t)=3^{t}\ln3$ (m/s). Sau khoảng thời gian bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau lần thứ hai ( thời điểm $t=0$ được xem là thời điểm hai chất điểm gặp nhau lần thứ nhất)?

( $1{,}5$ điểm) Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, có $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^{\circ}$, $BD=1$, $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=30^{\circ}$. Cho biết tứ giác $AA'C'C$ là hình thoi có $\widehat{A'AC}=60^{\circ}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$.