12HSG - Sở GD&ĐT Đồng Nai (Bảng A) (25-26)

- Cho hàm số $y=\dfrac{x^{2}}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt nằm trên $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $d\colon y=x-1$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$. - Cân nặng trung bình của một bé trai trong độ tuổi từ $0$ đến $36$ tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số $w(t)=0{,}000341t^{3}-0{,}0268t^{2}+0{,}819t+3{,}67$, trong đó $t$ được tính bằng tháng và $w$ được tính bằng kilôgam. Biết tốc độ thay đổi cân nặng của bé trai tại thời điểm $t$ (tháng) được tính bằng công thức $w'(t)$. Hỏi thời điểm nào tốc độ thay đổi cân nặng của bé trai là nhỏ nhất?

- Ứng với mỗi số nguyên dương $2\le n\le28$, đặt \[S_n=\x^2+2026 x=1,n\\ và \ T_n=_a,b S_n a>b(a-b).\] Tìm $n$ nhỏ nhất để $T_{n}\ \vdots\ 29$. - Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn \[(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2),\ xR.\]

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{1}=\dfrac{1}{2}$, $a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}$, $n\in\mathbb{N}^{*}$. - Chứng minh $(a_{n})$ là dãy số giảm. - Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. Tính $\lim b_{n}$.

Xét hàm số $f\colon\mathbb{N}^{*}\to\mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện \[(m+n)\ \ (f(m)+f(n)),\ m,nN^*.\] - Tính $f(3)$. - Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$. - Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy. - Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.

- Cho hình chữ nhật $ABCD$ gồm $8\times10$ ô vuông cạnh bằng $1$. Xét đường đi có độ dài $18$ từ $A$ đến $C$ dọc theo cạnh các hình vuông đó và đổi hướng đúng $4$ lần. Tính số đường đi khác nhau có thể có. Dưới đây là một ví dụ đường đi thỏa yêu cầu của bài toán. [hình] - Cho $A$ là tập con của tập $\{1;2;3;\dots;2026\}$ gồm nhiều hơn $1010$ phần tử. Chứng minh rằng $A$ chứa phần tử là lũy thừa của $2$ hoặc chứa hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của $2$.