ĐỀ NĂM HỌC 2024 - 2025 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 44 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Có $20$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $20$. Chọn ngẫu nhiên ra $6$ tấm thẻ. Xác suất để trong $6$ tấm thẻ chọn ra có hai tấm thẻ mà tổng của hai số trên hai tấm thẻ đó bằng $21$ là
A. $\dfrac{267}{323}$
B. $\dfrac{211}{323}$
C. $\dfrac{10}{323}$
D. $\dfrac{1}{19}$
Câu 2
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $2$. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Giá trị $\cos\left(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF}\right)$ bằng
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $-\dfrac{\sqrt{2}}{6}$
C. $3$
D. $\dfrac{3}{4}$
Câu 3
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2$ (m) được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình $4$ cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ thì hai đường cong nối từ $O$ đến $A$ của cánh hình màu sẫm là một phần của đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=ax^3+bx$ (tham khảo hình vẽ). Giá trị của tích $a\cdot b$ bằng bao nhiêu, biết rằng diện tích phần màu sẫm chiếm $\dfrac{1}{3}$ diện tích mặt sàn?
[4]
$-3$
$2$
$-2$
$3$
[hình]
Câu 4
Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m$ (kg) được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=90^{\circ}$. Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $5\sqrt2$ (N). Lấy $g=10$ (m/s$^2$). Khi đó giá trị của $m$ bằng
A. $4$
B. $5$
C. $3$
D. $2$
Câu 5
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}$ là
A. $2$
B. $1$
C. $3$
D. $0$
Câu 6
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$, điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$. Độ dài đoạn $AM$ bằng
A. $\sqrt{17}$
B. $\sqrt{10}$
C. $\sqrt{29}$
D. $\sqrt{23}$
Câu 7
Cho hai hàm số bậc ba $f(x)=3x^3+ax^2+bx+c$ và $g(x)=\dfrac13x^3+mx^2+nx+p$. Hàm số $y=f(x)\cdot g(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng $x=0$ là điểm cực đại của hàm số $y=g(x)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ bằng
[4]
$-3$
$0$
$-12$
$-\dfrac{32}{9}$
[hình]
Câu 8
Một thùng chứa rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng $8$ dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường Elip có độ dài trục lớn bằng $10$ (dm), độ dài trục bé bằng $6$ (dm) (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi chiếc thùng gỗ đó đựng được bao nhiêu lít rượu?
A. $\dfrac{1416\pi}{25}$ (lít)
B. $\dfrac{1516\pi}{25}$ (lít)
C. $\dfrac{1316\pi}{25}$ (lít)
D. $\dfrac{1616\pi}{25}$ (lít)