ĐỀ NĂM HỌC 2024 - 2025 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 33 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ thỏa mãn $\log_{\sqrt a}^2b+\left(\log_bc-1\right)\cdot\log_b\sqrt c+\log_a\dfrac{c^3}{b}=0$. Giá trị của biểu thức $\dfrac{4}{\log_ba}+\log_b(bc)$ bằng
A. $4$
B. $2$
C. $1$
D. $3$
Câu 2
Cho lăng trụ đứng $ABC.A_1B_1C_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AC=a\sqrt3$. Góc tạo bởi đường thẳng $BC_1$ và mặt phẳng $(AA_1C_1C)$ bằng $30^{\circ}$, góc giữa đường thẳng $BC_1$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\varphi$ thỏa mãn $\sin\varphi=\dfrac{\sqrt6}{4}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BB_1$ và $A_1C_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AC_1$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt3}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt3}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt6}{2}$
D. $\dfrac{a\sqrt6}{4}$
Câu 3
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2+(m-2)x+3}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên cắt đường tròn $(C)\colon(x-1)^2+(y-1)^2=5$ tại hai điểm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng
A. $10$
B. $5$
C. $9$
D. $6$
Câu 4
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp(ABCD)$. Biết $AB=1$, $AD=\sqrt2$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{\sqrt6}{3}$. Côsin của góc phẳng nhị diện $[B,SC,D]$ bằng
A. $\dfrac{-1}{\sqrt6}$
B. $\dfrac{-1}{\sqrt3}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt3}$
D. $\dfrac{1}{\sqrt6}$
Câu 5
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$. Giá trị của $S$ bằng
A. $\dfrac12$
B. $8$
C. $1$
D. $\dfrac14$
Câu 6
Cho hình lăng trụ $ABC.A_1B_1C_1$ có $AB=3$, $AC=4$, $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là một điểm thuộc cạnh $A_1C_1$ sao cho $B_1N$ vuông góc với $AM$. Tỉ số $\dfrac{A_1N}{A_1C_1}$ bằng
A. $\dfrac35$
B. $\dfrac7{10}$
C. $\dfrac{15}{22}$
D. $\dfrac{13}{20}$
Câu 7
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $2$, cạnh bên bằng $\dfrac{\sqrt6}{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{SC}$ bằng
A. $45^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $135^{\circ}$
Câu 8
Gọi $A,B$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+4$. Diện tích tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc tọa độ) bằng
A. $4$
B. $8$
C. $\dfrac92$
D. $9$