ĐỀ NĂM HỌC 2026 - 2027 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 22 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\heva{&u_1=\dfrac{1}{2}
&u_{n+1}=u_n-2.}$ Số hạng thứ $2026$ của dãy số này là
A. $-\dfrac{9908}{2}$
B. $-\dfrac{8099}{2}$
C. $-\dfrac{9098}{2}$
D. $-\dfrac{8909}{2}$
Câu 2
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính sin của góc tạo bởi đường $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$.
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
C. $\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{13}}{5}$
Câu 3
Cho các hàm số $y=\log_ax$ và $y=\log_bx$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y=\log_ax$ và $y=\log_bx$ lần lượt tại $A$, $B$ và $C$. Biết rằng $CB=2AB$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
[2]
$a=5b$
$a=b^3$
$a=b^2$
$a^3=b$
[hình]
Câu 4
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ thuộc đường thẳng $AD$ sao cho $AN=2AD$ ($D$ nằm giữa $A$ và $N$). Đường thẳng $CN$ có phương trình $x+2y-11=0$, điểm $M\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)$. Tìm tọa độ điểm $C$.
A. $(5;3)$
B. $(-1;6)$
C. $(1;5)$
D. $(7;2)$
Câu 5
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Biết tứ giác $BCC'B'$ là hình thoi có $\widehat{B'BC}$ là góc nhọn, mặt phẳng $(BCC'B')$ vuông góc với $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là
A. $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{7}$
B. $\dfrac{a^3}{7}$
C. $\dfrac{3a^3}{7}$
D. $\dfrac{3a^3\sqrt{7}}{7}$
Câu 6
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC=2BA$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$. Trên tia đối của tia $FE$ lấy điểm $M$ sao cho $FM=FE$. Biết điểm $M(5;-1)$, đường thẳng $AC:2x+y-3=0$, biết $A$ có hoành độ là số nguyên. Xác định tọa độ đỉnh $A$.
A. $(7;-11)$
B. $(-7;17)$
C. $(5;-7)$
D. $(-5;13)$
Câu 7
Chọn ngẫu nhiên $3$ số tự nhiên từ tập hợp $X=\{1;2;3;\ldots;2022\}$. Xác suất để trong $3$ số tự nhiên được chọn có ít nhất $2$ số tự nhiên liên tiếp gần nhất với kết quả nào sau đây.
A. $0{,}002,87$
B. $0{,}002,67$
C. $0{,}002,77$
D. $0{,}002,97$
Câu 8
Có hai cơ sở khoan giếng $A$ và $B$. Cơ sở $A$ giá mét khoan đầu tiên là $800$ nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $50$ nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở $B$: giá của mét khoan đầu tiên là $600$ nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $7\%$ giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là $20$\,m và $25$\,m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?
A. Luôn chọn $B$
B. Luôn chọn $A$
C. Giếng $20$\,m chọn $B$ còn giếng $25$\,m chọn $A$…