ĐỀ NĂM HỌC 2026 - 2027 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 7 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
- Khi bệnh nhân sử dụng một lượng $x$ centimet khối của một loại thuốc $Y$, huyết áp tăng thêm của người này được mô hình hóa bởi hàm số $B(x)=305\left(x^{2}-6x^{3}\right)$ với $0\leq x\leq 0{,}16$. Xác định lượng thuốc $Y$ mà bệnh nhân sử dụng để huyết áp tăng thêm đạt giá trị lớn nhất.
- Giải phương trình $\cos^{2}x\cdot\sin^{4}x+\cos 2x=2\cos x(\sin x+\cos x)-1$.
Câu 2
Cho hàm số $f(x)=\heva{&\dfrac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} &\text{khi } -1\leq x<0
&-2+\dfrac{1-x}{1+x} &\text{khi } x\geq0.}$ Tính $\lim\limits_{x\to0}f(x)$.
Câu 3
Một hộp có chứa $100$ tấm thẻ, các tấm thẻ có cùng khối lượng, kích thước và màu sắc. Trên mỗi tấm thẻ có ghi một số tự nhiên từ $1$ đến $100$ sao cho không có hai tấm thẻ nào ghi cùng một số tự nhiên. Bạn An lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra $3$ tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:
- $A$: ``Tổng ba số tự nhiên ghi trên $3$ tấm thẻ là một số chẵn''.
- $B$: ``Ba số tự nhiên ghi trên $3$ tấm thẻ lập thành một cấp số cộng''.
Câu 4
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.
- Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
- Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin\alpha$.
- Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $S$.
Câu 5
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: ``Với mọi ước nguyên dương $d$ của $n$, số $d^{2}+1$ hoặc là một số nguyên tố, hoặc là một ước của $n$''.
Câu 6
Chứng minh rằng, không tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số thực, khác đa thức hằng và thỏa mãn $P\left(x^{2}-2\right)=(P(x))^{2}$ với mọi số thực $x$.
Câu 7
Bạn An tô màu các số tự nhiên, mỗi số được tô bởi đúng một trong ba màu xanh, đỏ, vàng và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
- [i)] Ba số liên tiếp bất kì có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng;
- [ii)] Tồn tại một số tô màu xanh và một số tô màu vàng có tổng bằng $2026$.
Hỏi số $2027$ được tô màu gì? Giải thích.