ĐỀ NĂM HỌC 2026 - 2027 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 50 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\cos2x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6}\right]$. Tính $T=M-2m$.
A. $T=\dfrac{5}{2}$
B. $T=1+\sqrt{3}$
C. $T=2$
D. $T=\dfrac{3}{2}$
Câu 2
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh $AB=a$ và $SA=2a$. Tính $\tan$ của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{7}$
Câu 3
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{d}+\vec{b}-\vec{c}\right)$
B. $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{c}+\vec{d}+\vec{b}\right)$
C. $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{c}+\vec{d}-\vec{b}\right)$
D. $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{c}+\vec{b}-\vec{d}\right)$
Câu 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\cos^2x$ trên đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$.
[1]
$\displaystyle\max_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{\pi}{4};\ \min_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{\pi}{6}$
$\displaystyle\max_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{4};\ \min_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{1}{2}$
$\displaystyle\max_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{1}{2};\ \min_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=-1$
$\displaystyle\max_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2};\ \min_{\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]}y=1$
Câu 5
Phương trình $2^{x-3}=5^{x^2-5x+6}$ có một nghiệm dạng $x=b+\log_ab$ với $a,b$ là các số nguyên dương thuộc khoảng $(1;7)$. Khi đó, $a+2b$ bằng
A. $24$
B. $7$
C. $16$
D. $9$
Câu 6
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=a$, $AD=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SD$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
C. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu 7
Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Diện tích tam giác tạo bởi các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng
[2]
$2$
$3$
$4$
$1$
[hình]
Câu 8
Ba vận động viên bóng rổ thi ném bóng. Xác suất để vận động viên thứ nhất, thứ hai và thứ ba ném bóng trúng rổ lần lượt là $0{,}9$; $x$; $y$. Biết rằng, xác suất để ít nhất một trong ba vận động viên ném bóng trúng rổ là $0{,}994$ và xác suất để cả ba vận động viên ném bóng trúng rổ là $0{,}504$. Xác suất để có đúng hai vận động viên ném trúng rổ bằng
A. $0{,}256$
B. $0{,}398$
C. $0{,}452$
D. $0{,}412$