ĐỀ NĂM HỌC 2026 - 2027 · HỌC SINH GIỎI TOÁN — 34 câu · Làm online · chấm điểm tự động Làm miễn phí, chấm điểm tự động, không cần đăng nhập.
Câu 1
Trong không gian cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A'C'$ thỏa mãn $\overrightarrow{A'M}=2\overrightarrow{MC'}$, điểm $N$ là điểm trên cạnh $B'C'$ thỏa mãn $\overrightarrow{B'N}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC'}$. Gọi $I$ là giao điểm của $A'N$ và $B'M$. Biết $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AA'}$. Khi đó tổng $x+y+z$ bằng
A. $\dfrac{9}{7}$
B. $\dfrac{11}{7}$
C. $\dfrac{12}{7}$
D. $\dfrac{13}{7}$
Câu 2
Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có tâm $O$, cạnh $AB=a$, $BC=2a$. Hình chiếu của $A'$ trên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $OA$. Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $A'D$ bằng
A. $\dfrac{5a\sqrt{85}}{51}$
B. $\dfrac{3a\sqrt{85}}{34}$
C. $\dfrac{4a\sqrt{85}}{17}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{85}}{17}$
Câu 3
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $MNPQ$ với $M(10;10)$, $N(-10;10)$, $P(-10;-10)$, $Q(10;-10)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ đều là các số nguyên nằm trong hình vuông $MNPQ$ (tính cả các điểm nằm trên các cạnh của hình vuông). Chọn ngẫu nhiên một điểm $A(x;y)\in S$, khi đó xác suất để chọn được điểm $A$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}\right|\le10$ bằng
A. $\dfrac{41}{441}$
B. $\dfrac{59}{441}$
C. $\dfrac{61}{441}$
D. $\dfrac{63}{441}$
Câu 4
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong ở hình bên. Gọi $x_1$, $x_2$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f(x_1)-3f(x_2)=0$. Đường thẳng song song với trục $Ox$ và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ $x_0$ và $x_1=x_0+1$. Tính tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ ($S_1$ và $S_2$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên).
[2]
$\dfrac{3}{8}$
$\dfrac{9}{8}$
$\dfrac{5}{8}$
$\dfrac{27}{8}$
[hình]
Câu 5
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-2}$ là
A. $y=-3x+1$
B. $y=x+1$
C. $y=x-2$
D. $y=x-1$
Câu 6
Cho $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\dfrac{x+8}{x^2+x-2}\,\mathrm{d}x=a\ln2+b\ln5$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a+2b=11$
B. $a-b=5$
C. $a-2b=11$
D. $a+b=3$
Câu 7
Cho hình chữ nhật $ABCD$, trên cạnh $AB$ có $3$ điểm, trên cạnh $BC$ có $4$ điểm, trên cạnh $CD$ có $5$ điểm, trên cạnh $DA$ có $n$ điểm. Các điểm nằm trên các cạnh không trùng với các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$. Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm trong $(n+12)$ điểm nằm trên các cạnh của hình chữ nhật đã cho. Biết xác suất để chọn được $3$ điểm lập thành một tam giác bằng $\dfrac{1069}{1140}$. Giá trị của $n$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(4{,}5;6{,}5)$
B. $(10{,}5;14{,}5)$
C. $(6{,}5;8{,}5)$
D. $(8{,}5;10{,}5)$
Câu 8
Cho hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$ $(a>0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức $2a+2b-c-d$ bằng
[2]
$4$
$5$
$6$
$2$
[hình]