Học Toán theo bài — lý thuyết, bài tập, đề ôn.
Nhắc lại về tập hợp
- Để chỉ $a$ là một phần tử của tập hợp $A$, ta viết $a \in A$ (đọc là $a$ thuộc $A$).
Để chỉ $a$ không là phần tử của tập hợp $A$, ta viết $a \notin A$ (đọc là $a$ không thuộc $A$).
- Một tập hợp không chứa phần tử nào thì được gọi là tập rỗng, kí hiệu $\varnothing$.
Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau:
2
- $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên;
- $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên;
- $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỉ;
- $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực.
Cách xác định tập hợp:
2
- Liệt kê các phần tử.
- Chỉ ra tính chất đặc trưng.
- Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tuỳ ý.
- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.
- Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng $\ldots$\, mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
- Có những tập hợp, mà ta có thể đếm hết các phần tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.
Nếu $E$ là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của nó được kí hiệu là $n(E)$. Đặc biệt, $n(\varnothing)=0$.
Tập con và hai tập hợp bằng nhau
Cho hai tập hợp $A$ và $B$.
Nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$ thì ta nói tập hợp $A$ là tập con của tập hợp $B$ và kí hiệu $A \subset B$ (đọc là $A$ chứa trong $B$ ), hoặc $B \supset A$ (đọc là $B$ chứa $A$).
- $A \subset A$ và $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp $A$.
- Nếu $A$ không phải là tập con của $B$ thì ta kí hiệu $A \not \subset B$ (đọc là $A$ không chứa trong $B$ hoặc $B$ không chứa A).
- Nếu $A \subset B$ hoặc $B \subset A$ thì ta nói $A$ và $B$ có quan hệ bao hàm.
Trong toán học, người ta thường minh hoạ tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven (đặt theo tên nhà toán học, nhà triết học người Anh John Venn). Theo cách này, ta có thể minh hoạ $A$ là tập con của $B$ như dưới đây.
[hình]
Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$
[hình]
Hai tập hợp $A$ và $B$ gọi là bằng nhau, kí hiệu $A=B$, nếu $A \subset B$ và $B \subset A$.
Nói cách khác, hai tập hợp $A$ và $B$ bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.
Một số tập con của tập hợp số thực
|m5cm|m5cm|m7cm|
Tên gọi và kí hiệu& Tập hợp& Biểu diễn trên trục số
Tập số thực $(-\infty;+\infty)$&$\mathbb{R}$& [hình]…