Học Toán theo bài — lý thuyết, bài tập, đề ôn.
Trọng tâm kiến thức
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA TẬP NGHIỆM
- Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình $ax+by<c$ $\left(a^2+b^2>0\right)$.
- Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$;
- Lấy điểm $M\left(x_0;y_0\right)\notin d$.
- Nếu $ax_0 + by_0<c$ thì nửa mặt phẳng không kể bờ $d$ chứa $M_0$ là miền nghiệm của $ax + by<c$.
- Nếu $ax_0 + by_0>c$ thì nửa mặt phẳng không kể bờ $d$ không chứa $M_0$ là miền nghiệm của $ax + by< c$.
Chú ý
Miền nghiệm của bất phương trình $ax + by\le c$ $\left(a^2+b^2>0\right)$ bao gồm miền nghiệm của bất phương trình $ax+by<c$ và đường thẳng $d$ (nửa mặt phẳng kể cả bờ $d$).
- Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
- Sau khi làm như trên lần lượt đối với các bất phương trình trong hệ và trên cùng mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của $x+y-1\le 0$.
- Bước 1. Vẽ đường thẳng $\Delta \colon x+y-1=0$ đi qua hai điểm $A\left(1;0\right)$ và $B\left(0;1\right)$.
- Bước 2. Xét gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$. Ta thấy $O \notin \Delta $ và $0+0 -1<0$. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể bờ $\Delta$, chứa gốc tọa độ $O$ (miền không gạch chéo trên hình bên).
[hình]
BÀI TOÁN MIN MAX
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=ax+by$ ($a$, $b$ là hai số đã cho không đồng thời bằng $0$) với $x$, $ y$ thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có miền nghiệm là miền đa giác $A_1 A_2 \ldots A_i A_{i+1} \ldots A_n$).
- Người ta chứng minh được: Biểu thức $F=ax+by$ có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của đa giác $A_1 A_2 \ldots A_i A_{i+1} \ldots A_n$.
- Phương pháp:
- Bước 1. Tìm miền đa giác $A_1 A_2 \ldots A_i A_{i+1} \ldots A_n$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
- Bước 2. Tìm tọa độ các đỉnh $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$.
- Bước 3. Tính $F\left(x_i ; y_i\right)$ trong đó $A_i\left(x_i;y_i\right)$ với $i=1,2,\ldots,\ n$.
- Bước 4. Kết luận
Giá trị lớn nhất $M=\max \limits_{i=1,2,\ldots n} F\left(x_i; y_i\right)$.
Giá trị nhỏ nhất $m=\min\limits_{i=1,2,\ldots n} F\left(x_i; y_i\right)$.