Học Toán theo bài — lý thuyết, bài tập, đề ôn.
Tọa độ Vectơ
2
Cho hai vectơ $\vec{a}=(a_1;a_2)$, $\vec{b}=(b_1;b_2)$ và số thực $k$. Khi đó
Tọa độ vectơ
- $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}=(x;y)$.
- Vectơ đơn vị $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$.
- $\vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow \heva{a_1 &= b_1
a_2&= b_2.}$
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- $\vec{a}\pm\vec{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2)$
- $k\vec{a}=(ka_1;ka_2)$
- $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.$
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \vv{a} \cdot \vv{b}=0 \Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$;
- $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$;
hoặc $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}$ nếu mẫu khác 0.
- $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$;
- $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$;
- $\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$.
Xác định các điểm thỏa điều kiện
- $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
- $M(x_M;y_M)$ trung điểm của $AB$ là
\[
x_M &= x_A+x_B2, & y_M &= y_A+y_B2.
\]
- $G(x_G;y_G)$ trọng tâm của tam giác $ABC$ là
\[
x_G &= x_A+x_B+x_C3, & y_G &= y_A+y_B+y_C3.
\]
Phương trình đường thẳng
2
Ba yếu tố liên quan đến phương của 1 đường thẳng
[hình]
- Vectơ pháp tuyến có giá vuông góc với $\Delta$
- Vectơ chỉ phương giá song song hoặc trùng~$\Delta$
- Đổi vtcp và vtpt: Đổi chỗ, đổi 1 dấu.
- $\Delta$ có vô số vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến.
- $\Delta$ có vtpt $\vec{n}$ và vtcp $\vec{u}$ thì $k \cdot \vec{n}$; $k \cdot \vec{u}(k \neq 0)$ cũng lần lượt là vtpt và vtcp của $\Delta$.
Viết phương trình đường thẳng cơ bản
- Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng $\Delta \colon \heva{&\text{qua } M(x_0;y_0)
&\text{vtcp } \vec{u}=(a ; b)}$ có dạng
$$\boxed{\Delta\colon\heva{x=x_0+a t
y=y_0+b t}},(t \in \mathbb{R})$$
- Phương trình tổng quát (PTTQ)
của đường thẳng $\Delta \colon \heva{&\text{qua } M(x_0;y_0)
& \text{vtpt } \vec{n}=(A ; B)}$ có dạng
$$\boxed{{A}\left({x}-{x}_{0}\right)+{B}\left({y}-{y}_{0}\right)=0}$$
-
Đường thẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng: $$\boxed{\Delta \colon y=k\left(x-x_0\right)+y_0}$$